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MCD e mcm tra polinomi


Tipo Learning Object
exercise

Materia
Matematica superiori

Argomenti
MCD e mcm tra polinomi

Obiettivi
Calcolare il MCD e il mcm di polinomi

Prerequisiti
Scomposizione in fattori i polinomi
MCD e mcm per fattori numerici
MCD e mcm per monomi

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Troviamo il mcm e MCD

Parte un'animazione dove appaiono in successione due pulsanti. Sul primo c'è scritto "calcolo del M.C.D" e sul secondo "calcolo del m.c.m."

Avanti

MCD e mcm

Parte un'animazione dove appaiono in successione due pulsanti. Sul primo c'è scritto "calcolo del M.C.D" e sul secondo "calcolo del m.c.m."

Si dice Massimo Comun Vai al glossarioDivisore (M.C.D.) di due o più Vai al glossariopolinomi il polinomio di Vai al glossariogrado  massimo che è divisore di tutti i polinomi dati.

Si dice minimo comune Vai al glossariomultiplo (m.c.m.) di due o più polinomi il polinomio di grado minimo divisibile per tutti i polinomi dati.

Per trovare il M.C.D. e il m.c.m. è necessario Vai al glossarioscomporre polinomi in fattori irriducibili, raccogliendo anche gli eventuali fattori numerici.

Effettuata la Vai all'approfondimentoscomposizione:

  • per calcolare il M.C.D. si considera il prodotto dei fattori comuni, ciascuno preso una sola volta con il minimo esponente
  • per calcolare il m.c.m. si considera il prodotto dei fattori comuni e non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più alto

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Calcoliamo il MCD

Per trovare il MCD procediamo nel modo seguente:

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Come si procede nel MCD

Individua il valore di verità della seguente proposizione.

Nel calcolare il MCD tra polinomi, dopo averli scomposti in fattori si procede
prendendo i fattori comuni a tutti i polinomi.


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Calcoliamo il mcm

Per trovare il mcm dei polinomi seguenti procediamo così:

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Come si procede nel mcm

Individua il valore di verità della proposizione seguente.

Il mcm tra due o più polinomi è un polinomio multiplo di tutti i polinomi
dati, di grado minimo.


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Il Massimo Comun Divisore

Dati i seguenti polinomi, quale, tra quelli proposti, è il loro MCD?

sei a bi alla seconda meno tre a bi alla terza     ventiquattro a alla quarta bi alla seconda meno dodici a lla quarta bi alla terza             quattro meno bi alla seconda.




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Calcola il MCD

Quali, tra quelli proposti, sono i passaggi corretti?




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Il minimo comune multiplo

Quale, tra quelli proposti, è il mcm dei polinomi seguenti?

due ics più sei ipsilon            ics alla seconda meno nove ipsilon alla seconda            ics alla seconda più sei ics ipsilon più nove ipsilon alla seconda




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Calcola il mcm

Quale, tra quelli proposti, è il mcm dei polinomi seguenti?

cinque ics meno cinque ipsilon meno dieci ics alla seconda più dieci ics ipsilon    e          cinque ics alla seconda meno dieci ics ipsilon più cinque ipsilon alla seconda,
dopo aver scomposto otteniamo:

cinque per il binomio ics meno ipsilon, sommato al prodotto tra meno dieco ics ed il binomio ics meno ipsilon è tutto uguale a cinque per il prodotto tra i binomi ics meno ipsilon e uno meno due ipsilon    e    cinque per il quadrato del binomio ics meno ipsilon.




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Ancora un MCD

Quale, tra quelli proposti, è il MCD dei polinomi seguenti?

due ics più sei ipsilon           ics alla seconda meno nove ipsilon alla seconda           ics alla seconda più sei ics ipsilon più nove ipsilon alla seconda




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Un ultimo mcm

Quale, tra quelli proposti, è il mcm dei seguenti polinomi?

a alla seconda meno ci alla seconda     a alla seconda più ci alla seconda meno due a ci     tre a meno tre ci




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Che cosa hai imparato?

Parte un'animazione dove appaiono in successione due pulsanti. Sul primo c'è scritto "calcolo del M.C.D" e sul secondo "calcolo del m.c.m."

Per calcolare MCD e mcm di due o più polinomi:

  • per prima cosa è necessario scomporre i polinomi in fattori irriducibili,
    raccogliendo anche gli eventuali fattori numerici
  • il MCD sarà il polinomio di grado massimo divisore di tutti i polinomi dati
  • il mcm sarà il polinomio di grado minimo divisibile per tutti i polinomi dati

Parole chiave
Vai al glossarioPolinomio
Vai al glossarioMultiplo
Vai al glossarioDivisore
Vai al glossarioScomposizione di polinomi

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Polinomio

Si chiama polinomio un'espressione algebrica formata dalla somma di più monomi, detti termini del polinomio.

Si dice che un polinomio è ridotto  in forma normale quando non ha termini simili. 
In particolare un polinomio viene detto:

  • binomio, se è formato da due termini
  • trinomio, se contiene solo tre termini
  • quadrinomio, se contiene quattro termini

Per esempio:
zero ics ipsilon  è un polinomio nullo
a bi meno ics alla seconda ipsilon  è un binomio
a più due a ci meno cinque ics alla terza ipsilon alla seconda  è un trinomio

Etimologia
Polinomio deriva dal composto latino poli- nomen (più nomi).

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Scomposizione di polinomi

Non esiste un metodo generale di scomposizione
I metodi che possono essere utilizzati sono:
  • raccoglimento a fattor comune
    a ics più a ipsilon più a zeta è uguale ad a che moltiplica il trinomio ics più ipsilon più zeta
    Ad esempio da due ics ipsilon meno quattro ics più dodici ics zeta otteniamo
    due ics per, aperta tonda ipsilon meno due più sei zeta, chiusa tonda
  • raccoglimento parziale
    il polinomio a ics più a ipsilon più bi ics più bi ipsilon è uguale ad a per, aperta tonda ics più ipsilon chiusa tonda più bi per, aperta tonda ics più ipsilon chius atonda, che è ancora uguale al prodotto tra i binomi ics più ipsilon e a più bi
    Ad esempio: a ics alla seconda più a meno ics alla seconda meno uno è uguale a, ics alla seconda per il binomio a meno uno, più il binomio a meno 1, il tutto è ancora uguale a il prodotto tra i binomi ics alla seconda più uno e a meno uno
  • individuazione dei prodotti notevoli
    Da a alla seconda più a più un quarto riconosciamo il quadrato del binomio a più un mezzo
  • riconoscimento di particolari trinomi di secondo grado
    ics alla seconda più sette ics più dodici è uguale al prodotto tra i binomi ics più tre e ics più quattro il coefficiente di x è la somma dei due numeri e il termine noto il prodotto dei due numeri
  • regola di Ruffini
    Dato il polinomio ics alla terza più quattro ics alla seconda meno sette ics meno dieci applicando la regola di Ruffini otteniamo: il prodotto tra i tre binomi, ics più uno, ics meno due e ics più cinque

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Divisore

Il secondo termine dell'operazione di divisione.

Etimologia
Divisore deriva dal latino divisor, derivato da dividêre.

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Grado del polinomio



Si chiama grado di un polinomio ridotto  in forma normale il maggiore fra i gradi dei suoi termini
due a alla terza bi alla quarta più tre a alla quarta bi alla quinta più sette a alla terza  è un polinomio di grado 9


Etimologia: dal latino gradus

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Scomposizione

Scomporre in fattori un polinomio significa scriverlo sottoforma di prodotto di polinomi, tutti di grado inferiore

Etimologia
Scomposizione
deriva da composizione, e quindi dal latino compositionem (mettere insieme, unire), a cui è aggiunta una "s" sottrattiva: significa quindi "disunire".

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Multiplo

Si dice che un termine è multiplo di un altro se la divisione del primo per il secondo dà resto 0.
Il multiplo contiene esattamente più volte il numero minore.

Etimologia
Multiplo deriva dal latino tardo multiplus, derivato di multus (molto).

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Troviamo il mcm e MCD

Parte un'animazione dove appaiono in successione due pulsanti. Sul primo c'è scritto "calcolo del M.C.D" e sul secondo "calcolo del m.c.m."

Vediamo il procedimento per ricavare il Massimo Comun Divisore e il minimo comune multiplo tra più polinomi. Per farlo ci aiutiamo con una tabella in cui inseriamo i fattori primi di cui sono composti i diversi polinomi: in ogni colonna riportiamo, per i diversi polinomi, lo stesso fattore primo. In ogni riga inseriamo un polinomio diverso.
Cerchiamo innanzitutto il Massimo Comun Divisore dei polinomi:

i polinomi tre per a più bi tutto al quadrato, dodici per a meno bi tutto per a più bi, diciotto per a più bi tutto per a al quadrato meno a bi più bi al quadrato

Per ricavare il Massimo Comun Divisore dobbiamo selezionare i fattori comuni con il grado minimo con cui si presentano. In questo caso il MCD è 3(a+b).

I polinomi scomposti nella tabella con il massimo comun divisore evidenziato
            
Proviamo ora a trovare il minimo comune multiplo tra i seguenti polinomi, procedendo nella stessa maniera.

I polinomi tre per aperta tonda a più bi chiusa tonda alla seconda, dodici per aperta tonda a al quadrato meno bi al quadrato, diciotto per aperta tonda a al cubo più bi al cubo

Una volta costruita la tabella con i fattori primi, dovremo selezionare tutti i fattori che compaiono almeno una volta, con il grado maggiore a cui compaiono. Il minimo comune multiplo è quindi, in questo caso, 36(a+b)2(a-b)(a2-ab+b2).

I polinomi scomposti in fattori con il minimo comune multiplo evidenziato

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Tuttavia, alcuni brevi suoni particolarmente importanti (quelli che accompagnano i messaggi) sono sempre abilitati.

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  • Sono presenti comandi nascosti per disattivare fin dall'inizio i componenti audio, video e le animazioni che potrebbero interferire con i lettori di schermo.
  • Anche quando sono disabilitati, i contenuti multimediali si possono attivare, pagina per pagina, con comandi nascosti che permettono di procedere solo dopo aver terminato l'esplorazione della pagina.
  • I pulsanti di navigazione sono replicati da comandi nascosti attivi nelle diverse pagine.
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Credits

Licenza d'uso

Il presente Learning Object (LO) è di proprietà di Garamond Srl ed è concesso in licenza d'uso esclusivo al legittimo titolare, da intendersi come il singolo alunno della scuola selezionata dal Ministero della Pubblica Istruzione per il Progetto DIGI Scuola, per il quale la stessa scuola ha effettuato l'acquisto di una singola licenza, alle condizioni definite nel "Marketplace" della piattaforma web DIGI Scuola.

Il titolare della licenza d'uso, così come sopra definito, ha facoltà di eseguirlo online nella "Piattaforma di fruizione" della piattaforma web DIGI Scuola, disponendo della sua fruizione senza alcun vincolo di tempo, di sessioni di studio o di sede di esecuzione domestica, scolastica o di altro tipo.

Il titolare della licenza d'uso ha anche la facoltà di scaricare il presente LO sul proprio computer o di eseguirlo - online e offline - su di esso o su altre piattaforme della scuola che ha acquistato la regolare licenza, registrandosi sul sito web di Garamond "Curriculum Digitale" (http://www.curriculumdigitale.it).

Produzione editoriale
Garamond Editoria e Formazione - Roma

Progettazione didattica
Vindice Deplano

Ideazione e produzione storyboard e testi
Andreina Anna D'Arpino

Coordinamento disciplinare
Licia Cianfriglia

Redazione
Paola Ricci (coordinamento), Rossella Baldazzi, Mimma Basile, Francesca Policaro, Brunella Pellegrini, Martina Quadrino, Ida Taci, Stefano Tura

Progettazione e sviluppo editor LO
Francesco Leonetti

Progettazione e sviluppo funzioni per l'accessibilità
Glaux Srl

Progettazione e realizzazione grafica
Cristiana Giovannini (coordinamento), Daniele Quartu

Animazioni
Andrea Blasio (coordinamento), Alessandro Avenali, Gaetano Ermito, Diana Oreffice, Pasquale Gagliano

Audio, musiche ed effetti sonori
Luca De Carlo, Gio Gio' Rapattoni (voce)

Comunicazione
Chiara Calzavara

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Indice generale

1 Troviamo il mcm e MCD
2 MCD e mcm
3 Calcoliamo il MCD
4 Come si procede nel MCD
5 Calcoliamo il mcm
6 Come si procede nel mcm
7 Il Massimo Comun Divisore
8 Calcola il MCD
9 Il minimo comune multiplo
10 Calcola il mcm
11 Ancora un MCD
12 Un ultimo mcm
13 Che cosa hai imparato?
14 Troviamo il mcm e MCD
15 Esprimi le tue considerazioni

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