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Prodotti notevoli: cubo di un binomio


Tipo Learning Object
lecture

Materia
Matematica

Argomenti
Cubo di un binomio

Obiettivi
Riconoscere il significato geometrico del cubo di un binomio, sviluppare il cubo di un binomio

Prerequisiti
Operazioni con gli insiemi numerici
Operazioni con i monomi e polinomi
Sviluppo del quadrato di un binomio

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Costruiamo il cubo di un binomio

costruzione geometrica del cubo di un binomio

Osserva la costruzione di
aperta tonda a più bi chiusa tonda alla terza

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Il cubo di un binomio

costruzione geometrica del cubo di un binomio

Hai visto geometricamente come si costruisce il cubo di un binomio, adesso vediamolo algebricamente:

a più bi tutto elevato tre uguale
uguale parentesi tonda a più bi chiusa tonda alla seconda per parentesi tonda a più bi chiusa tonda uguale
uguale aperta tonda a due più due a bi più bi due chiusa tonda per aperta tonda a più bi chiusa tonda uguale
uguale a tre più a due bi più due a due bi più due a bi due più a bi due più bi tre uguale
uguale a tre più tre a due bi più tre a bi due più bi tre

Si ottiene quindi:

a più bi tutto elevato tre uguale a tre più tre a due bi più tre a bi due più bi tre

Lo sviluppo del cubo di un binomio è uguale alla somma algebrica dei cubi dei suoi termini e dei tripli prodotti del quadrato di ciascun termine per l'altro.

Naturalmente Vai all'approfondimentonell'applicare la regola va tenuto conto, caso per caso, del Vai all'approfondimentosegno dei due termini del binomio e delle potenze da applicare a tali termini.

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Riconosci il cubo di un binomio

Quali dei seguenti prodotti sono riconducibili al cubo di un binomio?



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Enuncia la regola

Completa la frase coi termini mancanti. di ciascun termine per l'altro.

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Qualche esempio

costruzione geometrica del cubo di un binomio

aperta parentesi a più due bi chiusa parentesi alla terza uguale
uguale a alla terza più tre a alla seconda per due bi più tre a per 2bi alla seconda più due bi alla terza uguale
uguale a tre più sei a due bi più dodici a bi due più otto bi tre

tre ics meno due ipsilon tutto al cubo uguale
uguale ventisette ics tre più tre per tre x alla seconda per meno due ipsilon più tre per tre ics per meno due ipsilon alla seconda più meno due ipsilon alla terza uguale
uguale venisette ics tre meno cinquantaquattro ics due ipsilon più trentasei ics ispsilon duemeno otto ipsilon tre

Vediamo come si procede nel calcolo del cubo di un binomio.

Nel primo esempio è dato il binomio (a più 2b)3. Sviluppando occorre:

  • elevare al cubo il primo termine del binomio
  • aggiungere 3 volte il quadrato del primo termine per il secondo termine
  • aggiungere tre volte il primo termine per il quadrato del secondo termine
  • infine aggiungere  il cubo del secondo termine

Avremo quindi a al cubo più sei a al quadrato b, più dodici a b al quadrato, più otto b al cubo

Il secondo esempio propone il cubo del binomio 3x - 2y.
In questo caso occorre fare attenzione al segno dei vari termini! Avremo:

  • 27 a3 
  • dal triplo prodotto di 3x2 per -2y otteniamo -54x al quadrato y,
  • da 3(3x)(-2y)2 otteniamo un prodotto con il segno positivo, essendo il secondo termine elevato al quadrato
  • +36xy2
  • infine il cubo di -2y ci darà il valore -8y3

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Riconosci lo sviluppo

Quale dei seguenti polinomi è lo sviluppo di aperta tonda a meno un terzo chiusa tonda alla terza ?



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Calcola il cubo

L'espressione aperta tonda a meno due chiusa tonda alla terza più tre a è uguale a:



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Sviluppa ancora

Calcola aperta tonda un mezzo ics meno uno chiusa tonda alla terza .


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Completa

Completa l'espressione, in modo da ottenere un quadrinomio
che sia lo sviluppo del cubo di un binomio.

[a tre più tre quarti a bidue




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Traduci con una formula

Dati due numeri a e b, al cubo della loro somma sottrai il cubo
della loro differenza e togli il triplo prodotto del primo per il quadrato
del secondo.




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Trova le uguaglianze corrette

Quale delle seguenti uguaglianze è corretta?



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Che cosa hai imparato?

costruzione geometrica del cubo di un binomio

Si può sviluppare e riconoscere il cubo di un binomio secondo le regole seguenti:

  • a più bi tutto elevato alla terza uguale a tre più tre a due bi più tre a bi due più bi tre 
  • aperta tonda a meno bi chiusa tonda alla terza uguale a tre meno tre a due bi più tre a bi due meno bi tre

Lo sviluppo del cubo di un binomio è uguale alla somma algebrica dei cubi dei
suoi termini più i tripli prodotti del quadrato di ciascun termine per l'altro
.

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Costruiamo il cubo di un binomio

costruzione geometrica del cubo di un binomio

Osserva la costruzione del cubo di un binomio.
Si costruisce per passi successivi un cubo di lato a più bi e volume a più bi tutto elevato tre .
Il primo solido che viene inserito, in basso a sx, è il cubo di volume bi tre di colore giallo, affiancato a dx si inserirà il parallelepipedo con volume a bi due
Il primo solido che viene inserito, in basso a sinistra, è il cubo di volume bi tre di colore giallo, affiancato a destra si inserirà il parallelepipedo con area di base bi due e altezza a , di colore celeste.

davanti si pone un parallelepipedo di volume abi due
A sinistra, posto davanti al cubo, si inserirà un parallelepipedo con area di base a bi due e altezza a, di colore celeste.
vengono aggiunti due parallelepipedi di volume a due bi e a bi due

Un analogo parallelepipedo di colore celeste verra posto sopra il cubo e altri due parallelepipedi gialli di base a due e altezza bi.

si aggiungono altri due parallelepipedi di volume a due bi
Infine, a completare la figura, si inserirà il cubo di colore rosso di volume a tre .
il cubo di volume a tre completa la figura
Avremo così ottenuto un cubo di lato a più bi , il cui volume risulterà uguale a:
a più bi tutto elevato tre uguale a tre più tre a due bi più tre a bi due più bi tre

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La regola dei segni nel prodotto

Per calcolare il segno dei tripli prodotti si procede come nel caso del prodotto di due numeri:

Due segni concordi moltiplicati danno segno +, due segni discordi danno segno -.

regola dei segni più per più uguale più più per meno uguale meno, meno per più uguale meno, meno per meno uguale più

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Se c'è la differenza?



Se dobbiamo calcolare il cubo di a-b avremo:

a meno bi tutto elevato tre uguale
parentesi tonda a meno bi chiusa tonda alla seconda per parentesi tonda a meno bi chiusa tonda uguale
aperta tonda a due meno due a bi più bi due chiusa tonda per aperta tonda a meno bi chiusa tonda uguale
a tre meno a due bi meno due a due bi più due a bi due più a bi due meno bi tre uguale
a tre meno tre a due bi più tre a bi due meno bi tre

quindi:

aperta tonda a meno bi chiusa tonda alla terza uguale a tre meno tre a due bi più tre a bi due meno bi tre

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Esprimi le tue considerazioni

costruzione geometrica del cubo di un binomio

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Credits

Licenza d'uso

Il presente Learning Object (LO) è di proprietà di Garamond Srl ed è concesso in licenza d'uso esclusivo al legittimo titolare, da intendersi come il singolo alunno della scuola selezionata dal Ministero della Pubblica Istruzione per il Progetto DIGI Scuola, per il quale la stessa scuola ha effettuato l'acquisto di una singola licenza, alle condizioni definite nel "Marketplace" della piattaforma web DIGI Scuola.

Il titolare della licenza d'uso, così come sopra definito, ha facoltà di eseguirlo online nella "Piattaforma di fruizione" della piattaforma web DIGI Scuola, disponendo della sua fruizione senza alcun vincolo di tempo, di sessioni di studio o di sede di esecuzione domestica, scolastica o di altro tipo.

Il titolare della licenza d'uso ha anche la facoltà di scaricare il presente LO sul proprio computer o di eseguirlo - online e offline - su di esso o su altre piattaforme della scuola che ha acquistato la regolare licenza, registrandosi sul sito web di Garamond "Curriculum Digitale" (http://www.curriculumdigitale.it).

Produzione editoriale
Garamond Editoria e Formazione - Roma

Progettazione didattica
Vindice Deplano

Ideazione e produzione storyboard e testi
Andreina Anna D'Arpino

Coordinamento disciplinare
Licia Cianfriglia

Redazione
Paola Ricci (coordinamento), Rossella Baldazzi, Mimma Basile, Francesca Policaro, Brunella Pellegrini, Martina Quadrino, Ida Taci, Stefano Tura

Progettazione e sviluppo editor LO
Francesco Leonetti

Progettazione e sviluppo funzioni per l'accessibilità
Glaux Srl

Progettazione e realizzazione grafica
Cristiana Giovannini (coordinamento), Daniele Quartu

Animazioni
Andrea Blasio (coordinamento), Alessandro Avenali, Gaetano Ermito, Diana Oreffice, Pasquale Gagliano

Audio, musiche ed effetti sonori
Luca De Carlo, Gio Gio' Rapattoni (voce)

Comunicazione
Chiara Calzavara

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Indice generale

3 Riconosci il cubo di un binomio
4 Enuncia la regola
6 Riconosci lo sviluppo
7 Calcola il cubo
8 Sviluppa ancora
9 Completa
10 Traduci con una formula
11 Trova le uguaglianze corrette

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