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Scomposizione in fattori di polinomi


Tipo Learning Object
exercise

Materia
Matematica superiori

Argomenti
Scomposizione in fattori
Raccoglimento totale e parziale
Sviluppo di prodotti notevoli
Regola di Ruffini
Trinomi particolari

Obiettivi
Raccogliere totalmente e parzialmente
Riconoscere nel polinomio lo sviluppo di un prodotto notevole
Scomporre un trinomio di 2° grado
Scomporre con la regola di Ruffini

Prerequisiti
Operazioni con monomi e polinomi
Sviluppo di prodotti notevoli
Regola di Ruffini

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Raccoglimento a fattor comune

Individua la corretta scomposizione del polinomio due ics ipsilon meno quattro ics più dodici ics zeta.





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Dove sono quelle giuste?

Trova, tra le scomposizioni proposte, quelle corrette.

A: a per il binomio ics più ipsilon, meno bi per il binomio ics più ipsilon, più ci per il binomio ics più ipsilon è uguale al prodotto tra il binomio ics più ipsilon ed il trinomio a meno bi più ci

B: sei a alla seconda ics alla seconda più trenta a ics alla quarta meno ventuno a alla seconda ics alla quinta è uguale al prodotto tra, tre a alla seconda ics alla seconda ed il trinomio due più dieci ics alla seconda meno sette ics alla terza

C: il quadrato del binomio ics meno due è moltiplicato per il binomio a più b, al tutto è addizionato il prodotto tra i binomi a più ci e ics meno due, raccogliendo il fattor comune ics meno due si ottiene: ics meno due per, aperta quadra, aperta tonda ics meno due chiusa tonda per, aperta tonda a più bi, più a più ci, chiusa quadra

D: sei ics per il binomio a meno bi, più cinque ipsilon per il binomio a piùbi, è uguale al prodotto tra il binomio a meno bi ed il binomio sei ics meno cinque ipsilon




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Trova la scomposizione corretta

Qual è il modo corretto di scomporre il binomio bi alla terza più bi?

A: prodotto tra bi ed il quadrato del binomio bi più uno

B: prodotto di bi per il binomio bi alla seconda meno uno, che è ancora uguale al prodotto tra il binomio bi meno uno ed il binomio bi più uno

C: prodotto di bi per bi alla seconda

D: prodotto di bi per il binomio bi alla seconda più uno




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Raccoglimento a fattor comune

Per la proprietà Vai all'approfondimentodistributiva della moltiplicazione sai che:

                emme per la somma di a più bi più ci è uguale alla somma dei prodotti emme per a più emme per bi più emme per ci 

Questa uguaglianza può scriversi anche in modo simmetrico, cioè scambiando il primo col secondo membro

                  la somma dei prodotti emme per a più emme per bi più emme per ci è uguale ad emme per la somma di a più bi più ci 

Da questa proprietà segue che:

Se tutti i termini di un polinomio contengono un fattore comune, questo può essere messo in evidenza (raccolto a fattore), trasformando il polinomio nel prodotto del fattore comune per il quoziente che si ottiene dividendo il polinomio per tale fattore.

Ricordati che il fattore comune può essere un monomio ma anche un polinomio!

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Trova le scomposizioni corrette

Non tutte le scomposizioni seguenti sono corrette, individua quelle che lo sono.

A: quattro bi più quattro meno bi ipsilon meno ipsilon è uguale a bi che moltiplica il binomio quattro meno ipsilon, viene sommato l binomio quattro meno ipsilon, il tutto è ancora uguale al prodotto tra i binomi quattro meno ipsilon e bi più uno

B: a ics alla seconda più a meno ics alla seconda meno uno è uguale ad ics alla seconda che moltiplica il binomio a meno uno, viene sommato il binomio a meno uno, il tutto è ancora uguale al prodotto tra i binomi ics alla seconda più uno ed a meno uno

C: ics alla quarta meno ics alla terza più tre ics alla seconda meno tre ics è uguale al prodotto tra ics alla seconda ed il binomio ics alla seconda più tre, sommato al prodotto tra ics ed il binomio ics alla seconda più tre, il tutto è ancora uguale al prodotto tra i binomi ics alla seconda più tre e ics alla seconda più ics

D: otto a ipsilon meno quattro ipsilon zeta più due a bi meno bi zeta è uguale al prodotto tra quattro ipsilon ed il binomio due a meno zeta, sommato al prodotto tra meno bi ed il binomio due a meno zeta

il tutto è ancora uguale al prodotto tra i binomi due a meno zeta e quattro ipsilon meno bi




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Associa il valore di verità

Associa a ogni uguaglianza il valore corrispondente.

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Raccoglimento parziale

vengono visualizzati i vari passaggi per raccogliere fattori comuni parzialmente

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Trova il procedimento corretto.

Il procedimento per scomporre in fattori il trinomio ci alla terza meno due ci alla seconda più ci è:

A: ci per il binomio c alla seconda meno due ci è uguale a ci per ci per il binomio ci meno due

B: ci per il trinomio ci alla seconda meno due ci più uno è uguale al prodotto di ci per, aperta tonda prodotto tra ci e il binomio ci meno due al tutto sommato a uno, chiusa tonda

C: ci per il trinomio ci alla seconda meno due ci più uno è uguale al prodotto di ci per il quadrato del binomio ci meno uno

D:
ci per il trinomio ci alla seconda meno due ci più uno è uguale al prodotto di ci per il quadrato del binomio ci meno uno che è ancora uguale al prodotto di ci per ci meno uno, per ci più uno




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Scomposizione mediante i prodotti notevoli

vengono visualizzati i vari passaggi per raccogliere fattori comuni parzialmente

I prodotti notevoli che hai studiato sono spesso utilissimi per le Vai al glossarioscomposizioni di polinomi procedendo in senso inverso.
Vediamoli insieme:

Trinomio quadrato di un binomio
a alla seconda più il doppio prodotto tra a e bi, più bi al quadrato è uguale al quadrato della somma tra a e bi ; a alla seconda meno il doppio prodotto tra a e bi, più bi al quadrato è uguale al quadrato della differenza tra a e bi

Differenza di quadrati
a alla seconda meno bi alla seconda è uguale al prodotta della somma di a con bi per la loro differenza

Polinomio quadrato di un trinomio
a alla seconda più bi alla seconda più ci alla seconda più il doppio prodotto tra a e bi, più il doppio prodotto di a per ci, più il doppio prodotto di bi per ci, è uguale al quadrato della somma di a con bi con ci

Quadrinomio cubo di un binomio
a alla terza più il triplo di a alla seconda per b, più il triplo di a per bi alla seconda, più bi alla terza, è uguale al cubo di a più bia alla terza meno il triplo di a alla seconda per b, più il triplo di a per bi alla seconda, meno bi alla terza, è uguale al cubo di a meno bi

Differenza e somma di due cubi
a alla terza meno bi alla terza è uguale al prodotto tra il binomio a meno bi e il trinomio, a alla seconda più a per bi più bi alla seconda ; a alla terza più bi alla terza è uguale al prodotto tra il binomio a più bi e il trinomio, a alla seconda meno a per bi più bi alla seconda

Queste formule ci forniscono delle regole per la scomposizione in fattori: di volta in volta utilizzerai quella opportuna, riconoscendo di quale prodotto notevole il polinomio da scomporre è lo sviluppo.

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Associa

Scegli tra le espressioni che seguono le corrette scomposizioni dei polinomi sottostanti.

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Riconosci

Individua tra le scomposizioni seguenti quelle corrette.

A: ics alla seconda più sette ics più dodici è uguale al prodotto tra i binomi ics più tre e ics più quattro

B:  ics alla seconda meno cinque ics più sei è uguale al prodotto tra i binomi ics più tre e ics più due

C: ics alla seconda meno un terzo ics meno dieci terzi è uguale al prodotto tra i binomi ics più cinque terzi e ics meno due

D: quattro ics alla seconda meno otto ics più sette  è uguale al prodotto tra i binomi ics meno uno e ics meno sette

E: tre  ics alla seconda più tredici ics più quattordici  è uguale ad ics alla seconda più tredici terzi ics più quattordici terzi che è ancora uguale al prodotto tra i binomi ics più sette terzi e ics piùdue





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Riconosci il trinomio particolare

Il trinomio ci alla seconda più ci meno sei :





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La scomposizione di particolari trinomi

vengono visualizzati i vari passaggi per raccogliere fattori comuni parzialmente

Considera il seguente trinomio di secondo grado con a e b appartenenti aQ

ics alla seconda più, aperta tonda, a più bi, chiusa tonda, per ics più a per bi
                       
con il coefficiente di ics alla seconda uguale a uno, il coefficiente di ics la somma di due numeri e il termine noto il prodotto di due numeri.

Moltiplicando e raccogliendo parzialmente otteniamo:

ics alla seconda più, aperta tonda, a più bi, chiusa tonda, per ics più a per bi è uguale aics alla seconda più a ics più bi ics più a bi è ugualeics per, aperta tonda ics più a chiusa tonda, più bi per, aperta tonda ics più a chiusa tonda, è uguale aaperta tonda ics più a chiusa tonda, per aperta tonda ics più bi, chiusa tonda

quindi vale l'uguaglianza        ics alla seconda più, aperta tonda a più bi, chiusa tonda per ics, più a per bi è uguale a, aperta tonda, ics più a chiusa tonda, per, aperta tonda ics più bi, chiusa tonda

Vediamo qualche esempio.

1.            
ics alla seconda meno cinque ics più sei
 
Cerchiamo due numeri tali che:  a più bi uguale meno cinque  e   a per bi uguale sei : i numeri sono -3 e -2. Avremo allora: ics alla seconda meno cinque ics più sei è uguale a, aperta tonda ics meno tre chiusa tonda, per, aperta tonda ics meno due, chiusa tonda

2.           ics alla seconda più sei ics meno sedici                  a più bi uguale sei   e   a per bi uguale meno sedici : i numeri sono +8  e -2. Avremo allora: ics alla seconda più sei ics meno sedici è uguale a, aperta tonda ics più otto chiusa tonda, per, aperta tonda ics meno due, chiusa tonda
          
 

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Scomponi con Ruffini

Dato il polinomio bi di ics è uguale a ics alla terza più quattro ics alla seconda meno sette ics meno dieci trova la sua scomposizione.





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Trova i divisori

Individua, fra quelli proposti, i divisori del polinomio: ics alla terza meno trentanove ics più settanta







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Scomposizione con il teorema e la regola di Ruffini

vengono visualizzati i vari passaggi per raccogliere fattori comuni parzialmente

Il polinomio bi di ics è uguale a ics alla terza più quattro ics alla seconda meno sette ics meno dieci per il Vai all'approfondimentocriterio di Ruffini ha come possibili divisori più o meno uno più o meno due più o meno cinque più o meno dieci

Sostituendo -1 al posto della variabile x otteniamo B(-1)=0 quindi ics più uno è un divisore del polinomio.

Eseguendo la divisione con la Vai all'approfondimentoregola di Ruffini otteniamo:

bi di ics è uguale a ics alla terza più quattro ics alla seconda meno sette ics meno dieci è uguale a, aperta tonda ics più uno chiusa tonda, per aperta tonda ics alla seconda più tre ics meno dieci, chiusa tonda

Il trinomio di secondo grado si può scomporre in

aperta tonda ics meno due chiusa tonda, per aperta tonda ics più cinque

Quindi:

bi di ics è uguale a ics alla terza più quattro ics alla seconda meno sette ics meno dieci è uguale a, aperta tonda ics più uno chiusa tonda, per aperta tonda ics alla seconda più tre ics meno dieci, chiusa tonda, aperta tonda ics più uno chiusa tonda, per aperta tonda ics meno due chiusa tonda, per aperta tondaics più cinque

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Che cosa hai imparato?

vengono visualizzati i vari passaggi per raccogliere fattori comuni parzialmente

Scomporre un polinomio in fattori significa scriverlo come prodotto di polinomi di grado inferiore.

Abbiamo visto i seguenti metodi di scomposizione:

  • Raccoglimento a fattor comune totale:
    emme a più emme bi più emme ci uguale a emme per aperta tonda a più bi più ci chiusa tonda
  • Raccoglimento parziale:
    a ics più a ipsilon più bi ics più bi ipsilon, è uguale ad a per, aperta tonda, ics più ipsilon, chiusa tonda. Il tutto è uguale a, aperta tonda ics più ipsilon chiusa tonda, per aperta tonda, a più bi

Scomposizione con prodotti notevoli

  • Trinomio quadrato di un binomio
    a alla seconda più il doppio prodotto tra a e bi, più bi al quadrato è uguale al quadrato della somma tra a e bi     a alla seconda meno il doppio prodotto tra a e bi, più bi al quadrato è uguale al quadrato della differenza tra a e bi
  • Differenza di quadrati
    a alla seconda meno bi alla seconda è uguale al prodotta della somma di a con bi per la loro differenza
  • Polinomio quadrato di un trinomio
    a alla seconda più bi alla seconda più ci alla seconda più il doppio prodotto tra a e bi, più il doppio prodotto di a per ci, più il doppio prodotto di bi per ci, è uguale al quadrato della somma di a con bi con ci
  • Quadrinomio cubo di un binomio
    a alla terza più il triplo di a alla seconda per b, più il triplo di a per bi alla seconda, più bi alla terza, è uguale al cubo di a più bi       a alla terza meno il triplo di a alla seconda per b, più il triplo di a per bi alla seconda, meno bi alla terza, è uguale al cubo di a meno bi
  • Differenza e somma di due cubi
    a alla terza meno bi alla terza è uguale al prodotto tra il binomio a meno bi e il trinomio, a alla seconda più a per bi più bi alla seconda       a alla terza più bi alla terza è uguale al prodotto tra il binomio a più bi e il trinomio, a alla seconda meno a per bi più bi alla seconda
  • Scomposizione di particolari trinomi:
    ics alla seconda più, aperta tonda a più bi, chiusa tonda per ics, più a per bi è uguale a, aperta tonda, ics più a chiusa tonda, per, aperta tonda ics più bi, chiusa tonda
  • Scomposizione con il teorema e la regola di Ruffini

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Raccoglimento parziale

vengono visualizzati i vari passaggi per raccogliere fattori comuni parzialmente

Se i termini di un polinomio non sono tutti divisibili per uno stesso monomio non è possibile il raccoglimento totale.
Considera il seguente monomio, costituito da un numero pari di termini:

ax + ay + bx + by           

I ipotesi        
Il primo e il secondo termine e il terzo e il quarto hanno un fattore un comune: raccogliamo.

a(x + y) + b(x + y) = (x + y)(a + b)

ax + ay + bx + by 

II ipotesi         
Un altro possibile raccoglimento era però ottenibile scegliendo il primo e il terzo termine e il secondo e il quarto.

x(a + b) + y(a + b) = (a + b)(x + y)

Ci può quindi essere più di una possibilità per il raccoglimento parziale.

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Proprietà distributiva



La moltiplicazione è distributiva rispetto all'addizione

il prodotto di a più bi per ci è uguale alla somma dei prodotti a per c più bi per ci


Verifichiamolo

il prodotto di due più cinque per cinque è uguale alla somma di due per cinque più cinque per cinque


sette per cinque è uguale a dieci più venticinque


trentacinque è uguale a trentacinque

Principali funzioni: Torna dall'approfondimento Fine dell'approfondimento. Per riascoltarlo torna al titolo.

Scomposizione

Scomporre in fattori un polinomio significa scriverlo sottoforma di prodotto di polinomi, tutti di grado inferiore

Etimologia
Scomposizione
deriva da composizione, e quindi dal latino compositionem (mettere insieme, unire), a cui è aggiunta una "s" sottrattiva: significa quindi "disunire".

Principali funzioni: Torna dall'approfondimento Fine dell'approfondimento. Per riascoltarlo torna al titolo.

Il teorema di Ruffini



Un polinomio A(x) è divisibile esattamente per il binomio x-c se, e soltanto se, risulta A(c)=0, cioè se il valore che assume A(x) per x=c è zero.

Criterio di Ruffini

Sia il polinomio A(x)  a coefficienti interi; allora se esiste un valore razionale p/q che sostituito ad x annulla il polinomio sarà :
 
p divisore del termine noto
 
q divisore del coefficiente del termine di grado massimo
 

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La regola di Ruffini

Il polinomio due ics alla quarta più quattro ics  alla seconda meno ics più due è divisibile per ics meno due, applichiamo la regola:

L'applicazione della regola di Ruffini per scomporre il polinomio

Ricorda! I coefficienti del polinomio devono essere posti in ordine decrescente. Se manca qualche coefficiente al suo posto si inserisce il coefficiente uguale a zero.

Principali funzioni: Torna dall'approfondimento Fine dell'approfondimento. Per riascoltarlo torna al titolo.

Esprimi le tue considerazioni

vengono visualizzati i vari passaggi per raccogliere fattori comuni parzialmente

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Riepilogo



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  • Anche quando sono disabilitati, i contenuti multimediali si possono attivare, pagina per pagina, con comandi nascosti che permettono di procedere solo dopo aver terminato l'esplorazione della pagina.
  • I pulsanti di navigazione sono replicati da comandi nascosti attivi nelle diverse pagine.
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Credits

Licenza d'uso

Il presente Learning Object (LO) è di proprietà di Garamond Srl ed è concesso in licenza d'uso esclusivo al legittimo titolare, da intendersi come il singolo alunno della scuola selezionata dal Ministero della Pubblica Istruzione per il Progetto DIGI Scuola, per il quale la stessa scuola ha effettuato l'acquisto di una singola licenza, alle condizioni definite nel "Marketplace" della piattaforma web DIGI Scuola.

Il titolare della licenza d'uso, così come sopra definito, ha facoltà di eseguirlo online nella "Piattaforma di fruizione" della piattaforma web DIGI Scuola, disponendo della sua fruizione senza alcun vincolo di tempo, di sessioni di studio o di sede di esecuzione domestica, scolastica o di altro tipo.

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Produzione editoriale
Garamond Editoria e Formazione - Roma

Progettazione didattica
Vindice Deplano

Ideazione e produzione storyboard e testi
Andreina Anna D'Arpino

Coordinamento disciplinare
Licia Cianfriglia

Redazione
Paola Ricci (coordinamento), Rossella Baldazzi, Mimma Basile, Francesca Policaro, Brunella Pellegrini, Martina Quadrino, Ida Taci, Stefano Tura

Progettazione e sviluppo editor LO
Francesco Leonetti

Progettazione e sviluppo funzioni per l'accessibilità
Glaux Srl

Progettazione e realizzazione grafica
Cristiana Giovannini (coordinamento), Daniele Quartu

Animazioni
Andrea Blasio (coordinamento), Alessandro Avenali, Gaetano Ermito, Diana Oreffice, Pasquale Gagliano

Audio, musiche ed effetti sonori
Luca De Carlo, Gio Gio' Rapattoni (voce)

Comunicazione
Chiara Calzavara

Principali funzioni: Torna indietro Fine dei credits. Per riascoltarli torna al titolo.

Indice generale

1 Raccoglimento a fattor comune
2 Dove sono quelle giuste?
3 Trova la scomposizione corretta
4 Raccoglimento a fattor comune
5 Trova le scomposizioni corrette
6 Associa il valore di verità
7 Raccoglimento parziale
8 Trova il procedimento corretto.
9 Scomposizione mediante i prodotti notevoli
10 Associa
11 Riconosci
12 Riconosci il trinomio particolare
13 La scomposizione di particolari trinomi
14 Scomponi con Ruffini
15 Trova i divisori
16 Scomposizione con il teorema e la regola di Ruffini
17 Che cosa hai imparato?
18 Raccoglimento parziale
19 Esprimi le tue considerazioni

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