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Le quattro operazioni: definizioni e proprieta'


Tipo Learning Object
exercise

Materia
Matematica

Argomenti
Le quattro operazioni in N e loro proprietà
L'elemento neutro

Obiettivi
Conoscere le quattro operazioni fondamentali nell'insieme dei numeri naturali N
Conoscere e applicare le proprietà delle quattro operazioni
Conoscere e saper usare i procedimenti di esecuzione delle quattro operazioni nell'insieme dei numeri naturali N
Saper utilizzare l'elemento neutro
Saper riconoscere se un'operazione è interna in N

Prerequisiti
Concetto d'insieme
Calcolo aritmetico

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Introduzione

I quattro operatori: più, meno, per, diviso

I quattro operatori: più, meno, per, diviso 

Questi simboli ti sono sicuramente familiari, li hai usati tante volte per risolvere le quattro Vai al glossariooperazioni.

Essi "operano", cioè agiscono a partire da due numeri, per produrre un terzo numero.

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La macchina delle operazioni

la macchina per le operazioni

Questa è una macchina speciale. 
A partire da due numeri, che chiameremo operandi, la macchina sceglie uno degli operatori  +, x, -, :, poi si mette in funzione e sputa fuori il risultato.

Fai attenzione: non sempre la bocca sputa un risultato!
Può capitare che la macchina si rompa  ed emetta del fumo: non tutti i risultati sono possibili.

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Operandi, operatori, risultato

le quattro operazioni

le quattro operazioni 

Ogni operatore +,  x,  -,  : rappresenta un'operazione e sia gli Vai al glossariooperandi  che il Vai al glossariorisultato hanno nomi ben precisi:

  • nell'addizione ( + ) i due operandi si chiamano addendi e il risultato somma
    5 + 7 = 12
  • nella moltiplicazione ( x ) i due operandi si chiamano fattori e il risultato prodotto
    5 x 7 = 35
  • nella sottrazione ( - ) il primo operando si chiama minuendo, il secondo sottraendo e il risultato differenza
    7 - 5 = 2
  • nella divisione ( : ) il primo operando si chiama dividendo, il secondo divisore e il risultato quoziente
    10 : 2 = 5

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Operazioni interne in N

le quattro operazioni

Se sommiamo o moltiplichiamo due Vai al glossarionumeri naturali  il risultato sarà sempre un numero naturale. 
 
Si dice allora che l'addizione e la moltiplicazione sono operazioni interne in N:
2 + 4 = 6    due e quattro fanno parte dei numeri naturali e così sei
2 x 4 = 8    due e quattro fanno parte dei numeri naturali e così otto
  
Se sottraiamo o dividiamo due numeri naturali non sempre è possibile avere come risultato un numero naturale. Il risultato di una sottrazione è un numero naturale se e solo se il minuendo è maggiore o uguale al sottraendo.
7 - 4 = 3       sette e quattro fanno parte dei numeri naturali e così tre          
2 - 4 = -2         due e quattro fanno parte dei numeri naturali ma non meno due  

Il risultato della divisione è un  numero naturale se e solo se  il dividendo è un Vai al glossariomultiplo del divisore. Il risultato si chiama Vai al glossarioquoziente esatto 
8 : 4 = 2      otto e quattro fanno parte dei numeri naturali e così due
10 : 4 = 0,25       dieci e quattro fanno parte dei numeri naturali ma non zero virgola venticinque

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Elemento neutro

Due più zero uguale due, zero più quattro uguale quattro, due per uno uguale due, uno per quattro uguale quattro

Due più zero uguale due, zero più quattro uguale quattro, due per uno uguale due, uno per quattro uguale quattro 

Lo zero si chiama elemento neutro per l'addizione.
Se sommiamo lo Vai all'approfondimentozero a qualsiasi numero otteniamo come risultato il numero stesso, sia che lo zero sia il primo che il secondo addendo:
2 + 0 = 2
0 + 4 = 4

Conseguenze di questo sono:

  • la somma di due numeri è uguale a zero solo se entrambi i numeri sono zero
  • la sottrazione dà come risultato zero solo se minuendo e sottraendo sono uguali
  • nella sottrazione, quando il sottraendo è zero, la differenza coincide con il minuendo

L'uno si chiama elemento neutro per la moltiplicazione.
Se moltiplichiamo qualsiasi numero per 1 il risultato è il numero stesso.
Questo vale sia che l'uno sia il primo che il secondo fattore:
2 x 1 = 2
1 x 4 = 4

Conseguenze di questo sono:

  • nella divisione, quando il divisore è 1, il quoziente coincide con il dividendo
  • quando la divisione ha quoziente 1, significa che il dividendo e il divisore sono uguali

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Proprietà

Due più zero uguale due, zero più quattro uguale quattro, due per uno uguale due, uno per quattro uguale quattro

La proprietà commutativa: invertendo addendi o fattori la somma e la moltiplicazione non cambiano

Proprietà commutativa

Addizione: la somma di due o più numeri naturali non cambia se si cambia l'ordine degli addendi.
Moltiplicazione: il prodotto di due o più numeri naturali non cambia se si cambia l'ordine dei fattori.

La proprietà associativa: sostituendo a due o più addendi la loro somma (o a due o più fattori il loro prodotto), il risultato non cambia

Proprietà associativa

Addizione: la somma di tre o più numeri naturali non cambia, se si sostituisce a due o più di essi la loro somma.
Moltiplicazione: il prodotto di tre o più numeri naturali non cambia, se si sostituisce a due o più di essi il loro prodotto.

Schema della proprietà invariantiva: aggiungendo o sottraendo uno stesso numero a minuendo o sottraendo, o moltiplicando e dividendo per uno stesso numero divisore e dividendo, il risultato finale non cambia

Proprietà invariantiva

Sottrazione: la differenza di due numeri naturali non cambia, se si addiziona o si sottrae uno stesso numero sia al minuendo che al sottraendo.
Divisione: il quoziente esatto tra due numeri naturali non cambia, se si moltiplica o si divide
dividendo e divisore per uno stesso numero non nullo.

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Proprietà distributiva

Due più zero uguale due, zero più quattro uguale quattro, due per uno uguale due, uno per quattro uguale quattro

Proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione (o alla sottrazione)
Quando si deve moltiplicare una somma (o una differenza) per un numero, si può moltiplicare ciascun addendo (o rispettivamente il minuendo e il sottraendo) per quel numero e poi sommare (sottrarre) i prodotti ottenuti e il risultato non cambia:

quattro per parentesi cinque più tre più due uguale a quattro per cinque più quattro per tre più quattro per due

Infatti:
4 x (5 + 3 + 2) = 4 x 10 = 40
e
4 x 5 +4 x 3 + 4 x 2 = 20 + 12 + 8 = 40

quattordici per parentesi cinque meno tre chiusa parentesi uguale quattordici per cinque meno quattordici per tre

Infatti:
14 x (5 - 3) = 14 x 2 = 28
e
14 x 5 - 14 x 3 = 70 - 42 = 28

Proprietà distributiva della divisione rispetto all'addizione (o alla sottrazione)
Quando si deve dividere una somma (o una differenza) per un numero, si può dividere ciascun addendo (o rispettivamente il minuendo e il sottraendo) per quel numero e poi sommare (sottrarre) i quozienti ottenuti e il risultato non cambia:

parentesi quindici più diciotto chiusa parentesi diviso tre uguale quindici diviso tre più diciotto diviso tre

Infatti:
(15 + 18) : 3 = 33 : 3 = 11
e
15 : 3 + 18 : 3 = 5 + 6 = 11

parentesi trentasei meno diciotto chiusa parentesi diviso sei uguale a trentasei diviso sei meno diciotto diviso sei

Infatti:
(36 - 18) : 6 = 18 : 6 = 3
e
36 : 6 - 18 : 6 = 6 - 3 = 3

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Qual è il suo nome?

Individua il nome del numero (operando o risultato dell'operazione)
indicato in grassetto:

Avanti

Completa le frasi

Completa le frasi inserendo i termini giusti. esatto.

Avanti

Sottrazioni possibili in N

Individua quali delle seguenti sottrazioni sono possibili
nell'insieme dei numeri naturali.










Avanti

Divisioni possibili in N

Per quale delle seguenti divisioni esiste in quoziente esatto
nell'insieme dei numeri naturali?










Avanti

Di che operazione si tratta?

Nelle seguenti uguaglianze il simbolo ? rappresenta sempre
la stessa operazione: quale?

9 ? 3 + 4 = 10
(15 ? 9) x 3 = 18
20 ? (2 x 5)= 10
(30 : 5) ? 6 = 0




Avanti

Quale proprietà?

Indica quale proprietà è stata applicata.

Avanti

A ognuno la sua!

Scegli per ogni operazione la proprietà che è stata applicata.

Avanti

Le uguaglianze sono vere?

Stabilisci quale delle seguenti uguaglianze sono vere e quali false.

Avanti

Velocizza i calcoli

La proprietà invariantiva è molto utile per velocizzare i calcoli.
Nelle seguenti operazioni quale numero bisogna sostituire al simbolo ?
per poterla applicare e quindi velocizzare i calcoli?

Avanti

La proprietà distributiva

In quale delle seguenti uguaglianze è stata applicata
correttamente la proprietà distributiva?







Avanti

Vero o falso?

Individua il valore di verità delle proposizioni seguenti.

Avanti

Che cosa hai imparato?

Due più zero uguale due, zero più quattro uguale quattro, due per uno uguale due, uno per quattro uguale quattro

Gli elementi delle quattro operazioni si chiamano:

  • addendi e il risultato somma, per l'addizione
  • fattori e il risultato prodotto, per la moltiplicazione 
  • rispettivamente minuendo, sottraendo e il risultato differenza, per la sottrazione 
  • rispettivamente dividendo, divisore e il risultato quoziente, per la divisione

Si dice allora che la somma e la moltiplicazione sono operazioni interne in N.
Se sottraiamo o dividiamo due numeri naturali, non sempre è possibile avere
come risultato un numero naturale:

  • il risultato di una sottrazione è un numero naturale se e solo se il minuendo
    è maggiore o uguale al sottraendo
  • il risultato della divisione è un  numero naturale se e solo se  il dividendo è un
    multiplo del divisore. Il risultato si chiama quoziente esatto

Esiste l'elemento neutro per la moltiplicazione e per l'addizione e
sono rispettivamente 1 e 0

Le proprietà delle operazioni sono:

  • per l'addizione: proprietà commutativa, proprietà associativa
  • per la moltiplicazione: proprietà commutativa, proprietà associativa,
    proprietà distributiva rispetto alla somma e alla differenza
  • per la sottrazione: proprietà invariantiva
  • per la divisione: proprietà invariantiva, proprietà distributiva rispetto
    alla somma e alla differenza

Parole nuove
Vai al glossarioOperazione
Vai al glossarioOperandi
Vai al glossarioRisultato
Vai al glossarioNumeri naturali
Vai al glossarioQuoziente esatto
Vai al glossarioMultiplo

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Operazione

Una legge che a ogni coppia ordinata di elementi di un insieme A associa uno e un solo elemento di A stesso.
Si può dire che un'operazione è una funzione di A x A in A

Etimologia
Operazione deriva dal latino operatio, che significa "operare".

Principali funzioni: Torna dall'approfondimento Fine dell'approfondimento. Per riascoltarlo torna al titolo.

Operandi

Si definiscono operandi gli elementi a e bi appartenenti all'insieme a ai quali, tramite un'operazione, viene associato uno e un solo elemento c detto risultato. 

Per esempio gli elementi a = 4 e b = 3 , con  a e bi appartenenti all'insieme dei numeri naturali , sono detti operandi nell'operazione di addizione.

tre più cinque uguale otto tre e cinque sono operandi

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Risultato

Dato un insieme A, non vuoto, e una coppia di elementi  a e bi appartenenti all'insieme a si definisce risultato il solo elemento c, che può o meno appartenere all'insieme, associato alla coppia (a,b) tramite una data legge.  

Per esempio, l'elemento ci uguale ad otto e appartenente all'insieme dei numeri naturali N è l'unico risultato che , tramite l'operazione di addizione, viene associato alla coppia a e bi appartenenti all'insieme dei numeri naturali con a = 3 e b = 5 cioè:   
otto risultato della somma di tre più cinque 
 
Se  c appartenente all'insieme dei numeri naturali (come nell'esempio) l'operazione si dice interna ad  insieme dei numeri naturali e l'insieme n si dice chiuso rispetto all'operazione.

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Numeri naturali

I numeri naturali sono conosciuti come "i numeri per contare", sono i numeri 0,1,2,3, 
Sono i primi numeri a essere stati usati dall'umanità.

Sono numeri interi senza segno.
L'insieme di tutti i numeri naturali si indica N (iniziale di Naturali).
I numeri naturali sono infiniti, lo zero è il primo numero naturale, ogni numero naturale ha un successivo. In N solo addizione e moltiplicazione sono leggi interne.

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Multiplo

Dati due numeri interi a e b, si dice che a è multiplo di b se esiste un numero intero c tale che sia a uguale bi per ci 

Etimologia
Multiplo
deriva dal latino, ed è composto da multus (molto) e plus (più), usato come suffisso moltiplicativo: "che contiene più cose".

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Quoziente esatto

Il quoziente esatto tra due numeri è quel numero naturale che, moltiplicato per il divisore, dà come prodotto il dividendo. Per esempio nella divisione 12 : 2 il quoziente esatto è 6, infatti:

in sei per due uguale dodici il sei è il quoziente esatto
Se esiste un numero naturale quoziente esatto della divisione tra due numeri naturali, si dice che il dividendo è divisibile per il divisore o è multiplo del divisore.
In questo caso si dice anche che il divisore è sottomultiplo del dividendo.

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Il numero zero nelle operazioni

Il valore zero nell'addizione è l'elemento neutro, infatti  la somma di un qualunque numero con lo zero ha come risultato il numero stesso: 13 + 0 = 13.

Nella sottrazione, se il sottraendo è zero, la differenza coincide con il minuendo: 13 - 0 = 13. Non è  invece possibile nell'insieme dei numeri naturali la sottrazione che abbia il minuendo uguale a zero: 0 - 13 = - 13, che non appartiene all'insieme dei numeri naturali

Se in un prodotto uno dei fattori è uguale a zero il prodotto è uguale a zero:
13 x 0 = 0.

Se un prodotto è uguale a zero, almeno uno dei fattori della moltiplicazione è zero. Questa viene detta legge dell'annullamento del prodotto.

La divisione tra zero e un qualunque numero naturale dà sempre come quoziente 0, infatti qualsiasi numero moltiplicato per zero dà come prodotto zero:
0 : 13 = 0.

La divisione tra un numero naturale e zero è impossibile: 13 : 0 = 0, infatti nessun numero moltiplicato per zero dà come risultato 13.

Principali funzioni: Torna dall'approfondimento Fine dell'approfondimento. Per riascoltarlo torna al titolo.

La macchina delle operazioni

Due più zero uguale due, zero più quattro uguale quattro, due per uno uguale due, uno per quattro uguale quattro

Questa è una macchina speciale. 
A partire da due numeri, che chiameremo operandi, la macchina sceglie uno degli operatori  +, x, -, :, poi si mette in funzione e sputa fuori il risultato.

La macchina dei numeri riesce a eseguire la somma tra cinque e sette

Fai attenzione: non sempre la bocca sputa un risultato!
Può capitare che la macchina si rompa  ed emetta del fumo: non tutti i risultati sono possibili.

La macchina dei numeri non riesce a dividere due per otto

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Esprimi le tue considerazioni

Due più zero uguale due, zero più quattro uguale quattro, due per uno uguale due, uno per quattro uguale quattro

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Riepilogo



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Istruzioni per l'uso

I comandi di navigazione

Questo corso ha una struttura sequenziale che permette di seguire facilmente il flusso di informazioni multimediali (testi, immagini, filmati, animazioni) e prove di verifica con pochissimi comandi.


Pulsante 'Indietro' Pulsante 'Avanti' I pulsanti "Indietro" e "Avanti" e consentono di scorrere le pagine. Se il pulsante "Avanti" non è visibile, a meno che non si tratti dell'ultima pagina, nella schermata ci sono certamente indicazioni su come proseguire.
Da alcune pagine, tramite collegamenti ipertestuali, si possono raggiungere voci di glossario e altri documenti di approfondimento. Questi collegamenti sono preceduti da piccole icone come queste: Icona degli Approfondimenti e Icona del glossario.


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Pulsante 'Indice' Il pulsante "Indice" consente di raggiungere direttamente l'indice del corso. Da qui può essere possibile accedere alle diverse pagine.
Un segno di spunta compare accanto a ogni pagina visitata Segno di spunta.


Pulsante 'Help' Il pulsante "Help" consente di accedere alla pagina delle istruzioni (questa!), che contiene indicazioni sulle diverse funzioni e sui comandi.


Pulsante 'Informazioni' Il pulsante "Informazioni" consente di accedere alla pagina con informazioni sugli autori. Equivale ai titoli di coda di un film (credits).


Pulsante 'Torna' Il pulsante "Torna" serve a tornare indietro. Il suo funzionamento è differente a seconda dei casi:
  • Nelle pagine di Help, di Informazione, di Glossario o negli altri Approfondimenti, torna alla pagina chiamante.
  • Nelle pagine con contenuti teorici, torna all'ultimo test effettuato o alla pagina di riepilogo.

I comandi per le esercitazioni e i test


Pulsante 'Verifica' Il pulsante "Verifica" permette di controllare l'esito di un test e di assegnare i relativi punteggi.
Senza premere questo pulsante, il test non è considerato valido.


Pulsante 'Studia' Il pulsante "Studia" (o "Vai a vedere") permette di collegare un test alle pagine che contengono le necessarie conoscenze teoriche.
Dopo un errore, l'accesso a queste pagine può essere reso obbligatorio: è un modo per facilitare la prosecuzione dell'attività.
In molti casi, la pagina collegata da questo pulsante varia a seconda dell'errore commesso (se sono stati commessi più errori, il sistema tiene conto del primo).
Pulsante 'Soluzione' Il pulsante "Soluzione" permette di conoscere le soluzioni dei test.
Accanto a ciascuna risposta compare una delle icone: Risposta esatta o Risposta errata.
Sfiorando col puntatore del mouse questa icona è possibile conoscere la risposta esatta.
Attenzione: il pulsante "Soluzione" compare solo dopo alcuni tentativi di risposta. Vedere le soluzioni è facoltativo, ma (naturalmente) una volta visualizzate non sarà più possibile rispondere nella stessa sessione.
Visualizzando la soluzione, inoltre, i punti previsti per quel test vengono sottratti.

I comandi per gestire l'interfaccia e la multimedialità


Pulsante 'Ingrandisci' Pulsante 'Rimpicciolisci' I pulsanti "Ingrandisci" e "Rimpicciolisci" permettono di modificare a piacere le dimensioni dei caratteri del testo.
Senza limiti.


Pulsante 'Zoom' Il pulsante "Zoom" permette di scegliere tra due possibili dimensioni della schermata, per adattarle a quelle del monitor.
Il pulsante è attivo solo all'inizio del corso, fino a quando non si comincia a navigare per le diverse pagine.


Pulsante suono 'On' Pulsante 'Off' Il pulsanti "Attiva/disattiva audio, video e animazioni" permettono di attivare o disabilitare tutti i contenuti multimediali: suoni, filmati, animazioni Flash, ecc.
Tuttavia, alcuni brevi suoni particolarmente importanti (quelli che accompagnano i messaggi) sono sempre abilitati.

Le funzioni per l 'accessibilità


Oltre agli accorgimenti previsti dalla normativa vigente (legge 4 del 2004), sono presenti molte funzioni per facilitare al massimo l'accessibilità dei contenuti.
In particolare:
  • Per ogni pagina è sempre presente, anche quando non è visibile, un titolo di primo livello che consente di tornare velocemente a inizio pagina attraverso i comandi del lettore di schermo.
  • Sono presenti comandi nascosti per disattivare fin dall'inizio i componenti audio, video e le animazioni che potrebbero interferire con i lettori di schermo.
  • Anche quando sono disabilitati, i contenuti multimediali si possono attivare, pagina per pagina, con comandi nascosti che permettono di procedere solo dopo aver terminato l'esplorazione della pagina.
  • I pulsanti di navigazione sono replicati da comandi nascosti attivi nelle diverse pagine.
  • Per le pagine il cui contenuto essenziale è costituito da animazioni interattive (come i test che prevedono il trascinamento di oggetti, chiamati anche "drag and drop"), il sistema passa automaticamente alle pagine alternative se verifica che i contenuti multimediali sono disabilitati o se non è installato il plugin Flash.

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Credits

Licenza d'uso

Il presente Learning Object (LO) è di proprietà di Garamond Srl ed è concesso in licenza d'uso esclusivo al legittimo titolare, da intendersi come il singolo alunno della scuola selezionata dal Ministero della Pubblica Istruzione per il Progetto DIGI Scuola, per il quale la stessa scuola ha effettuato l'acquisto di una singola licenza, alle condizioni definite nel "Marketplace" della piattaforma web DIGI Scuola.

Il titolare della licenza d'uso, così come sopra definito, ha facoltà di eseguirlo online nella "Piattaforma di fruizione" della piattaforma web DIGI Scuola, disponendo della sua fruizione senza alcun vincolo di tempo, di sessioni di studio o di sede di esecuzione domestica, scolastica o di altro tipo.

Il titolare della licenza d'uso ha anche la facoltà di scaricare il presente LO sul proprio computer o di eseguirlo - online e offline - su di esso o su altre piattaforme della scuola che ha acquistato la regolare licenza, registrandosi sul sito web di Garamond "Curriculum Digitale" (http://www.curriculumdigitale.it).

Produzione editoriale
Garamond Editoria e Formazione - Roma

Progettazione didattica
Vindice Deplano

Ideazione e produzione storyboard e testi
Antonella Greco

Coordinamento disciplinare
Licia Cianfriglia

Redazione
Paola Ricci (coordinamento), Rossella Baldazzi, Mimma Basile, Francesca Policaro, Brunella Pellegrini, Martina Quadrino, Ida Taci, Stefano Tura

Progettazione e sviluppo editor LO
Francesco Leonetti

Progettazione e sviluppo funzioni per l'accessibilità
Glaux Srl

Progettazione e realizzazione grafica
Cristiana Giovannini (coordinamento), Daniele Quartu

Animazioni
Andrea Blasio (coordinamento), Alessandro Avenali, Gaetano Ermito, Diana Oreffice, Pasquale Gagliano

Audio, musiche ed effetti sonori
Luca De Carlo, Gio Gio' Rapattoni (voce)

Comunicazione
Chiara Calzavara

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Indice generale

1 Introduzione
2 La macchina delle operazioni
3 Operandi, operatori, risultato
4 Operazioni interne in N
5 Elemento neutro
6 Proprietà
7 Proprietà distributiva
8 Qual è il suo nome?
9 Completa le frasi
10 Sottrazioni possibili in N
11 Divisioni possibili in N
12 Di che operazione si tratta?
13 Quale proprietà?
14 A ognuno la sua!
15 Le uguaglianze sono vere?
16 Velocizza i calcoli
17 La proprietà distributiva
18 Vero o falso?
19 Che cosa hai imparato?
20 La macchina delle operazioni
21 Esprimi le tue considerazioni

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