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Il concetto di funzione: le funzioni numeriche


Tipo Learning Object
exercise


Materia
Matematica

Argomenti
Le funzioni

Obiettivi
Acquisire il concetto di funzione
Saper riconoscere se una relazione è una funzione

Prerequisiti
Conoscenza del concetto di relazione binaria e di insieme quoziente
Conoscenza del concetto di relazioni d'ordine, di ordine parziale e ordine totale

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Leggi il grafico

Analizza la relazione erre rappresentata in figura e rispondi alle domande.

Avanti

Sono funzioni?

Date le seguenti relazioni di A in B stabilisci se sono funzioni:

Avanti

Sono o non sono?

Date le seguenti relazioni di A in B stabilisci se sono funzioni.

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Scopri le proprietà

Considera la relazione erre rappresentata in figura

e gli insiemi a è l'insieme delle ics appartenenti alla relazione erre tali che uno minore o uguale di ics minore o uguale di sei e a è l'insieme delle ics appartenenti alla relazione erre tali che uno minore o uguale di ics minore o uguale di sette

Diagramma cartesiano della relazione R di A in B

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Rispondi

Dichiara se le seguenti funzioni sono funzioni numeriche.

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Dov'è?

Considera le quattro relazioni erre di a in bi:
scopri l'unica che non è una funzione.

erre uno uguale aperta graffa e tonda a punto e virgola uno chiusa tonda virgola aperta tonda bi punto e virgola uno chiusa tonda virgola aperta tonda ci punto e virgola due chiusa tonda e graffa definita in a maiuscola uguale aperta graffa a virgola bi virgola ci
erre due uguale aperta graffa e tonda uno punto e virgola uno chiusa tonda virgola aperta tonda due punto e virgola uno chiusa tonda e graffa definita in a maiuscola uguale aperta graffa uno virgola due
erre tre uguale aperta graffa e tonda uno punto e virgola uno chiusa tonda virgola aperta tonda uno punto e virgola tre chiusa tonda virgola aperta tonda due punto e virgola due chiusa tonda e graffa definita in a maiuscola uguale aperta graffa uno virgola due
erre quattro uguale aperta graffa e tonda a punto e virgola uno chiusa tonda virgola aperta tonda bi punto e virgola tre chiusa tonda virgola aperta tonda ci punto e virgola due chiusa tonda e graffa definita in a maiuscola uguale aperta graffa a virgola bi virgola ci

Avanti

Stabilisci

Stabilisci se la relazione erre definita da "ics erre ipsilon se e solo se ics uguale radice di ipsilon" è una funzione, con

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Considera

Sia erre la relazione definita da "ics in relazione erre con ics se e solo se ics uguale ipsilon al quadrato"

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Mettiti alla prova

L'animazione prevede un test da effettuare trascinando gli oggetti sullo schermo. Per accedere automaticamente alla pagina alternativa, è necessario disabilitare in precedenza i componenti multimediali.

Trascina le funzioni numeriche in modo da dividerle in base al tipo di proporzionalità.

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Individua la proporzionalità

Stabilisci di che tipo è la proporzionalità rappresentata dalle funzioni numeriche

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Relazione binaria

Rappresentazione sagittale della relazione y è il cubo di x, con x appartenente ad A={1,2,4,6} e y appartenente a B={1,6,8,64}

Rappresentazione sagittale della relazione y è il cubo di x, con x appartenente ad A={1,2,4,6} e y appartenente a B={1,6,8,64} 

Considera gli insiemi a maiuscola uguale aperta graffa uno virgola due virgola quattro virgola sei e bi maiuscola uguale aperta graffa uno virgola sei virgola otto virgola sessantaquattro e la relazione ics in relazione erre con ipsilon se e solo se ipsilon uguale ics al cubo con ics appartenente ad a e ipsilon appartenente a bi .
Tale relazione può essere schematizzata attraverso la rappresentazione Vai al glossariosagittale.

Le coppie che rendono vera la relazione erre costituiscono l'insieme erre uguale aperta graffa e tonda uno punto e virgola uno chiusa tonda virgola aperta tonda due punto e virgola otto chiusa tonda virgola aperta tonda quattro punto e virgola sessantaquattro chiusa tonda e graffa, sottoinsieme dell'insieme a cartesiano bi, prodotto cartesiano tra a maiuscola e bi maiuscola

Definiamo dominio della relazione erre l'insieme degli elementi di a maiuscola che hanno immagine in bi maiuscola
Definiamo codominio della relazione erre l'insieme degli elementi di bi maiuscola che sono immagine di elementi di a maiuscola

Nel nostro caso il dominio della relazione erre è di maiuscola uguale aperta graffa uno virgola due virgola quattro e mentre il codominio è ci maiuscola uguale aperta graffa uno virgola otto virgola sessantaquattro

Evidenziamo quanto dichiarato attraverso la rappresentazione sagittale.

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Le funzioni

Osserva come si verifica che una relazione è funzione, segui la costruzione passo, passo

Una relazione tra due insiemi A e B si definisce funzione quando a ogni elemento di A è associato uno ed un solo elemento di B. Per indicare una funzione da A a B generalmente si usa una lettera minuscola dell'alfabeto italiano, che spesso è la f.
effe di a in bi B e si legge "f è una funzione dall'insieme A all'insieme B"

L'insieme A è il Vai al glossariodominio della funzione, mentre il Vai al glossariocodominio della funzione è il sottoinsieme di B formato dalle immagini degli elementi di A.

Ricorda che:

  • per ogni elemento x appartenente all'insieme A esiste un elemento y dell'insieme B che è la sua immagine tramite la funzione f (cioè è associato ad x mediante la f)
  • tale elemento è unico.

Per questo una funzione si dice Vai all'approfondimentocorrispondenza univoca.
Ricordati che potrai trovare indicata la funzione anche con la scrittura
ipsilon uguale effe di ics che leggerai "y è uguale a effe di x"

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Funzione numerica

Osserva come si verifica che una relazione è funzione, segui la costruzione passo, passo

Le funzioni sono particolari relazioni da un qualunque insieme A ad un qualunque insieme B, tali che tutti gli elementi di A abbiano uno ed un solo corrispondente in B.

Quando gli insiemi A e B sono insiemi numerici la funzione è detta numerica.

Inoltre gli elementi x di A ed y di B si dicono Vai al glossariovariabili, più precisamente:

x è detta variabile indipendente mentre y variabile dipendente.

Il dominio di una funzione numerica è anche detto campo di esistenza, e deve essere sempre specificato.

Esempio:
E' funzione numerica effe che a ics associa ipsilon uguale due ics più uno per ogni ics appartenente a enne e per ogni ipsilon appartenente a enne dove f è la legge mediante la quale sommato uno al doppio di un qualunque ics appartenente a enne, si trova ipsilon uguale effe di ics uguale due ics più uno appartenente a enne

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Proporzionalità diretta

Esempio di grafico della proporzionalità diretta

Considera la funzione ipsilon uguale tre ics con x e y numeri reali.

Osserva la tabella in figura, dove sono riportati alcuni valori di x e i corrispondenti valori di y.      
 
Possiamo affermare che:

  • se x aumenta anche y aumenta
  • se si esclude la coppia aperta parentesi zero punto e virgola zero chiusa parentesi il rapporto ipsilon fratto ics uguale tre

Definizione: Una funzione si dice di Vai al glossarioproporzionalità diretta se può essere scritta nella forma ipsilon uguale cappa ics dove la costante cappa appartiene ai reali erre

Le variabili x e y si dicono direttamente proporzionali.

Due variabili sono direttamente proporzionali quando il loro rapporto è costante.
Una funzione di proporzionalità diretta è rappresentata da una Vai all'approfondimentoretta che passa per l'origine degli assi aperta parentesi zero punto e virgola zero chiusa parentesi

Tabella dei valori di x e dei corrispondenti valori di y per la funzione y=3x

Esempio di grafico della proporzionalità diretta

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Proporzionalità inversa

Grafico della proporzionalità inversa

Considera la funzione ipsilon uguale tre ics con x e y numeri reali. Le condizioni di esistenza sono: ics diverso da zero

Osserva la tabella in figura, dove sono riportati alcuni valori di x e i corrispondenti valori di y.      

Possiamo affermare che:

  • se x aumenta y diminuisce
  • per ogni coppia di valori il prodotto ics ipsilon uguale diciotto

Definizione: Una funzione si dice di Vai al glossarioproporzionalità inversa se può essere scritta nella forma ipsilon uguale cappa fratto ics dove la costante cappa appartiene ai reali erre

Le variabili x e y si dicono inversamente proporzionali.

Due variabili sono inversamente proporzionali quando il loro prodotto è costante.

Una funzione di proporzionalità inversa è rappresentata da una Vai all'approfondimentoiperbole equilatera.

Tabella dei valori di x e dei corrispondenti valori di y per la funzione y=18/x

Grafico della proporzionalità inversa

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Proporzionalità quadratica

Grafico della proporzionalità quadratica, una parabola avente vertice nell'origine

Considera la funzione ipsilon uguale ics al quadrato con xy numeri reali.

Osserva la tabella in figura, dove sono riportati alcuni valori di x e i corrispondenti valori di y.      
 
Possiamo affermare che:

  • se x aumenta anche y aumenta esponenzialmente
  • se si esclude la coppia aperta parentesi zero punto e virgola zero chiusa parentesi il rapporto ipsilon fratto ics al quadrato uguale uno

Definizione: Una funzione si dice di Vai all'approfondimentoproporzionalità quadratica se può essere scritta nella forma ipsilon uguale cappa ics al quadrato con cappa appartenente ai reali erre .
Una funzione di proporzionalità quadratica è rappresentata in un piano cartesiano da una Vai all'approfondimentoparabola che passa per l'origine degli assi aperta parentesi zero punto e virgola zero chiusa parentesi

Tabella di valori attribuiti alla variabile ics e dei corrispondenti valori della ipsilon nella funzione di proporzionalità quadratica

Grafico della proporzionalità quadratica, una parabola avente vertice nell'origine

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Che cosa hai imparato?

Grafico della proporzionalità quadratica, una parabola avente vertice nell'origine

  • Una relazione binaria tra gli insiemi A e B è un qualunque sottoinsieme
    del prodotto cartesiano a per bi. Il Dominio della relazione erre è
    l'insieme degli elementi di A che hanno immagine in B, mentre il Codominio
    è l'insieme degli elementi di B che sono immagine di elementi di A.
  • Dati due insiemi A e B si definisce Vai all'approfondimentoprodotto cartesiano l'insieme i cui
    elementi sono tutte le possibili coppie ordinate aperta parentesi ics punto e virgola ipsilon chiusa parentesi,
    dove x è elemento di A e y e è elemento di B
  • Una relazione erre tra due insiemi A e B si definisce funzione
    quando a ogni elemento di A associa uno ed un solo elemento di B.
    Per indicare una funzione da A a B generalmente si usa una lettera
    minuscola dell'alfabeto italiano, che spesso è la f.
  • Una funzione è una Vai all'approfondimentocorrispondenza univoca poiché per ogni elemento
    x appartenente all'insieme A esiste un elemento y dell'insieme B e tale
    elemento è unico.
  • Se gli insiemi dove è definita la funzione sono numerici la funzione è
    detta funzione numerica ed il suo dominio prende il nome di campo
    di esistenza.
  • Una funzione numerica può essere di proporzionalità diretta, inversa
    o quadratica.
    Una funzione di proporzionalità diretta è rappresentata da una particolare
    Vai all'approfondimentofunzione lineare.
    Una funzione di proporzionalità inversa è rappresentata da
    Vai all'approfondimentoun'iperbole equilatera.
    Una funzione di proporzionalità quadratica è rappresentata da una
    Vai all'approfondimentoparabola.

Parole nuove
Vai al glossarioSagittale
Vai al glossarioDominio
Vai al glossarioCodominio
Vai al glossarioVariabile
Vai al glossarioProporzionalità
Vai al glossarioUnivoca
 

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Prodotto cartesiano

Dati due insiemi a maiuscola e bi maiuscola si definisce  prodotto cartesiano l'insieme i cui elementi sono tutte le possibili coppie ordinate aperta parentesi tonda ics punto e virgola ipsilon chiusa parentesi tonda, dove ics è elemento di a maiuscola e ipsilon è elemento di bi maiuscola.

Per indicare il prodotto cartesiano fra a maiuscola e bi maiuscola si scrive a per bi e si legge "A per (o cartesiano) B"

In simboli si scrive  a per bi uguale all'insieme delle coppie ics ipsilon tali che ics appartiene ad A e ipsilon appartiene a bi

Puoi notare subito che:

  • se a maiuscola e bi maiuscola sono insiemi finiti il prodotto cartesiano a cartesiano bi è un insieme che ha un numero finito di elementi. Precisamente se a maiuscola è costituito da enne elementi e bi maiuscola è costituito da emme  elementi, il prodotto cartesiano a cartesiano bi è costituito da enne per emme elementi.
  • Se uno dei due insiemi ha un numero infinito di elementi, il prodotto cartesiano ha un numero infinito di elementi.

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Mettiti alla prova

Trascina le funzioni numeriche in modo da dividerle in base al tipo di proporzionalità.

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Sagittale

Sagittale si usa in matematica per indicare rappresentazioni che avvengono mediante frecce.

Etimologia
Il termina sagittale deriva dal latino medioevale sagittalis, da sagitta (saetta, freccia) e letteralmente significa "che rassomiglia a freccia".

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Dominio

Il dominio, in matematica, è l'insieme dei punti di uno spazio su cui è definita una funzione.

Etimologia
Il termine dominio deriva dal latino dominium, e letteralmente significa "ambito", "campo d'azione".

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Codominio

Il codominio è l'insieme dei valori assunti da una funzione f al variare della variabile indipendente nel dominio di definizione, è cioè l'ambiente in cui si trova l'immagine della f.

Etimologia
Il termine codominio è composto da co (equivalente a con) e dominio.

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Variabile

Una variabile è una quantità suscettibile di assumere tutti i valori appartenenti ad un dato insieme I.

Etimologia
Il termine variabile deriva dal latino tardo variabìlis, e letteralmente significa "soggetto a variazione".

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Proporzionalità

La proporzionalità è la relazione intercorrente tra grandezze che siano tra loro proporzionali.

Etimologia
Il termine proporzionalità deriva dal latino tardo proportionalìtas-atis, derivato da proportionem, che è composto da pro (per, secondo) e portionem (parte, porzione).

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Univoca

Univoca si dice di una relazione che ad ogni elemento di un insieme A associa uno ed un solo elemento dell'insieme B.

Etimologia
Il termine univoco deriva dal latino tardo univocus, e letteralmente significa "in un solo modo", "unico". E' infatti composto da unus (uno) e vox-vocis (voce).

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Corrispondenza univoca

Una funzione fa corrispondere ad ogni elemento dell'insieme A uno ed un solo elemento dell'insieme B.
Questa corrispondenza è detta Vai al glossariounivoca.

Inoltre l'espressione "uno ed uno solo" evidenzia che devono essere soddisfatte due condizioni:

  • ogni elemento di A è associato ad un elemento di B
  • l'elemento di B a cui è associato l'elemento di A è unico.

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Funzione lineare

Il grafico di una funzione di proporzionalità diretta è una retta del tipo ipsilon uguale emme ics dove emme è un numero reale qualsiasi.

Tutte le funzioni definite da una formula del tipo ipsilon uguale emme ics più qu, dove emme e qu possono essere numeri reali qualsiasi, sono dette funzioni lineari.

E' una retta il grafico della funzione ipsilon uguale quattro ics più due (corrispondente ai valori emme uguale quattro e qu uguale due). Ma fai attenzione, le grandezze ics e ipsilon legate dalla relazione ipsilon uguale quattro ics più due non sono direttamente proporzionali perché la retta che rappresenta la funzione ipsilon uguale quattro ics più due non passa per l'origine.

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Iperbole equilatera

Grafico dell'iperbole equilatera Il grafico della proporzionalità inversa è una curva costituita da due rami separati, detta iperbole equilatera.

Gli assi cartesiani sono rette a cui il grafico dell'iperbole equilatera si avvicina indefinitamente, senza toccarli. Per esprimere questo fatto si dice che essi sono asintoti per l'iperbole.

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Parabola

Grafico della parabola avente vertice nell'origine e asse coincidente con l'asse y Il grafico della proporzionalità quadratica è una parabola. In realtà, ipsilon uguale cappa ics al quadrato con la costante cappa appartenente a erre, sono le più semplici parabole.

L'asse ipsilon viene detto asse della parabola ed è un asse di simmetria per la parabola.

Vertice della parabola viene detto il punto di intersezione della parabola con il suo asse. Nelle parabole ipsilon uguale cappa ics al quadrato il vertice è nell'origine.

Nella forma più generale una parabola è definita da un equazione del tipo ipsilon uguale a ics al quadrato più bi ics più ci con a diverso da zero

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Le funzioni

Grafico della parabola avente vertice nell'origine e asse coincidente con l'asse y

Una relazione tra due insiemi A e B si definisce funzione quando ad ogni elemento di A è associato uno ed un solo elemento di B. Per indicare una funzione da A a B generalmente si usa una lettera minuscola dell'alfabeto italiano, che spesso è la f.
effe di a in bi B e si legge "f è una funzione dall'insieme A all'insieme B"

L'insieme A è il Vai al glossariodominio della funzione, mentre il Vai al glossariocodominio della funzione è il sottoinsieme di B formato dalle immagini degli elementi di A.

Ricorda che:

  • per ogni elemento x appartenente all'insieme A esiste un elemento y dell'insieme B che è la sua immagine tramite la funzione f (cioè è associato ad x mediante la f)
  • tale elemento è unico.

Per questo una funzione si dice Vai all'approfondimentocorrispondenza univoca.
Ricordati che potrai trovare indicata la funzione anche con la scrittura
ipsilon uguale effe di ics che leggerai "y è uguale a effe di x"

Esempio:  Considera gli insiemi A = {1,2,3} e B= {1,2,3,4} e la relazione "y è uguale al successivo di x" con x elemento di A ed y elemento di B.

IDiagramma degli insiemi A e B

Verifichiamo ora che R è una funzione da A a B ovvero che effe definita in a e che assume valori in bi

  • A ogni elemento di A  corrisponde un elemento di B
  • l'elemento di B è unico

Diagramma sagittale che collega gli elementi dell'insieme A con quelli dell'insieme B

Dato che le condizioni sono rispettate possiamo affermare che questa relazione è una funzione.

Diagramma sagittale della funzione con evidenziato il codominio

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Grafico della parabola avente vertice nell'origine e asse coincidente con l'asse y

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Riepilogo



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  • Sono presenti comandi nascosti per disattivare fin dall'inizio i componenti audio, video e le animazioni che potrebbero interferire con i lettori di schermo.
  • Anche quando sono disabilitati, i contenuti multimediali si possono attivare, pagina per pagina, con comandi nascosti che permettono di procedere solo dopo aver terminato l'esplorazione della pagina.
  • I pulsanti di navigazione sono replicati da comandi nascosti attivi nelle diverse pagine.
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Credits

Licenza d'uso

Il presente Learning Object (LO) è di proprietà di Garamond Srl ed è concesso in licenza d'uso esclusivo al legittimo titolare, da intendersi come il singolo alunno della scuola selezionata dal Ministero della Pubblica Istruzione per il Progetto DIGI Scuola, per il quale la stessa scuola ha effettuato l'acquisto di una singola licenza, alle condizioni definite nel "Marketplace" della piattaforma web DIGI Scuola.

Il titolare della licenza d'uso, così come sopra definito, ha facoltà di eseguirlo online nella "Piattaforma di fruizione" della piattaforma web DIGI Scuola, disponendo della sua fruizione senza alcun vincolo di tempo, di sessioni di studio o di sede di esecuzione domestica, scolastica o di altro tipo.

Il titolare della licenza d'uso ha anche la facoltà di scaricare il presente LO sul proprio computer o di eseguirlo - online e offline - su di esso o su altre piattaforme della scuola che ha acquistato la regolare licenza, registrandosi sul sito web di Garamond "Curriculum Digitale" (http://www.curriculumdigitale.it).

Produzione editoriale
Garamond Editoria e Formazione - Roma

Progettazione didattica
Vindice Deplano

Ideazione e produzione storyboard e testi
Antonella Fatai

Coordinamento disciplinare
Licia Cianfriglia

Redazione
Paola Ricci (coordinamento), Rossella Baldazzi, Mimma Basile, Francesca Policaro, Brunella Pellegrini, Martina Quadrino, Ida Taci, Stefano Tura

Progettazione e sviluppo editor LO
Francesco Leonetti

Progettazione e sviluppo funzioni per l'accessibilità
Glaux Srl

Progettazione e realizzazione grafica
Cristiana Giovannini (coordinamento), Daniele Quartu

Animazioni
Andrea Blasio (coordinamento), Alessandro Avenali, Gaetano Ermito, Diana Oreffice, Pasquale Gagliano

Audio, musiche ed effetti sonori
Luca De Carlo, Gio Gio' Rapattoni (voce)

Comunicazione
Chiara Calzavara

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Indice generale

1 Leggi il grafico
2 Sono funzioni?
3 Sono o non sono?
4 Scopri le proprietà
5 Rispondi
6 Dov'è?
7 Stabilisci
8 Considera
9 Mettiti alla prova
10 Individua la proporzionalità
11 Relazione binaria
12 Le funzioni
13 Funzione numerica
14 Proporzionalità diretta
15 Proporzionalità inversa
16 Proporzionalità quadratica
17 Che cosa hai imparato?
18 Le funzioni
19 Esprimi le tue considerazioni

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